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一、选择题(每小题3分,共36分)
1.(2021于都期末)如图所示,AB是☉O的直径,C为圆内一点,则下列说法中正确的是( B )
第1题图
A.AC是☉O的弦 B.∠BOC是圆心角
C.∠C是圆周角D.ACD.AC+OC<AB
2.下列图形中,∠1一定小于∠2的是( B )
A B C D
3.(2021金山一模)已知在矩形ABCD中,AB=5,对角线AC=13,☉C的半径长为12,下列说法正确的是( D )
A.☉C与直线AB相交 B.☉C与直线AD相切
C.点A在☉C上 D.点D在☉C内
4.(2021金坛模拟)如图所示,AB是☉O的直径,C,D是☉O上两点,若∠ABC=40°,则∠BDC的度数是( C )
第4题图
A.60° B.55° C.50° D.48°
5.(2020湘西)如图所示,PA,PB为☉O的切线,切点分别为A,B,PO交AB于点C,PO的延长线交☉O于点D.下列结论不一定成立的是( B )
第5题图
A.△BPA为等腰三角形 B.AB与PD相互垂直平分
C.点A,B都在以PO为直径的圆上 D.PC为△BPA的边AB上的中线
6.(2021滨江一模)如图所示,已知线段AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E.若AE=2,CD=6,则OB的长度为( B )
第6题图
A.13 B.134
C.132 D.5
7.如图所示,AB是圆锥的母线,BC为底面直径,已知BC=6 cm,圆锥的侧面积为15π cm2,则sin∠ABC的值为( C )
第7题图
A.34 B.35 C.45 D.53
8.如图所示,AB是半圆O的直径,C,D是AB上的两点,AC=14BD,点E为CD上一点,且∠CED=52∠COD,则∠DOB的度数为( B )
A.92° B.96° C.100° D.120°
第8题图
9.如图所示,点A,B,C,D都在☉O上,圆的半径为2,且CB=CD=2,AB=AD,则S四边形ABCD等于( A )
第9题图
A.43 B.23
C.33 D.6
10.如图所示,AB为半圆O的直径,半径OC⊥AB.以OC为直径的☉D交AC于点E,交BC于点F,若AB=4,则图中阴影部分的面积为( A )
第10题图
A.2π-2 B.4π-2
C.4π-4 D.π-2
11.(2021高青一模)如图所示,圆心为M的量角器的直径的两个端点A,B分别在x轴正半轴、y轴正半轴上(包括原点O),AB=4.点P,Q分别在量角器60°,120°刻度线外端,连接MP.量角器从点A与点O重合滑动至点Q与点O重合的过程中,线段MP扫过的面积为( D )
第11题图
A.23π+3 B.43π
C.33 D.23π+23
12.如图所示,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点G,点F是CD上一点,且满足CFFD=13,连接AF并延长交☉O于点E,连接AD,DE,若CF=2,AF=3.给出下列结论:①△ADF∽△AED;②FG=3;③tan E=52;④S△DAF=65.其中正确的有( A )
第12题图
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
二、填空题(每小题3分,共18分)
13.(2021诸暨期末)如图所示,已知☉O上三点A,B,C,切线PA交OC延长线于点P,若OP=2OC,则 ∠ABC= 30° .
第13题图
14.(2020益阳)小明家有一个如图所示的闹钟,他观察发现圆心角 ∠AOB=90°,测得ACB的长为36 cm,则ADB的长为 12 cm.
第14题图
15.如图所示,八边形ABCDEFGH是正八边形,其外接圆的半径为2,则正八边形的面积为 42 .
第15题图
16.如图所示,☉O内切于正方形ABCD,O为圆心,作∠MON=90°,其两边分别交BC,CD于点N,M,若CM+CN=4,则☉O的面积为 4π .
第16题图
17.(2020鸡西)在半径为5的☉O中,弦AB垂直于弦CD,垂足为P,AB=CD=4,则S△ACP= 12或32或92 .
18.如图所示,已知AB=AC=BE=CD,AD=AE,点F为△ADE的外心,若 ∠DAE=40°,则∠BFC= 140 °.
第18题图
三、解答题(共46分)
19.(6分)(2021武汉模拟)如图所示,在☉O中,弦AB与弦CD相交于点E,且AB=CD.求证:CE=BE.
证明:∵AB=CD,∴AB=CD.
∴AB-CB=CD-CB,即AC=BD.
∴∠C=∠B.∴CE=BE.
20.(6分)如图所示,已知等边三角形ABC内接于☉O,AD是☉O的内接正十二边形的一条边,连接CD,若CD=62 cm,求☉O的半径.
解:如图所示,连接OA,OD,OC.
∵等边三角形ABC内接于☉O,AD为内接正十二边形的一边,
∴∠AOC=13×360°=120°,∠AOD=112×360°=30°,
∴∠COD=∠AOC-∠AOD=90°.∵OC=OD,∴△OCD是等腰直角三角形,
∴OC=OD=22CD=22×62=6,即☉O的半径为6 cm.
21.(10分)如图所示,已知AB是☉O的直径,CD与☉O相切于点C,过点B作BE⊥DC,交DC延长线于点E.
(1)求证:BC是∠ABE的平分线;
(2)若DC=8,☉O的半径OA=6,求CE的长.
(1)证明:∵CD与☉O相切于点C,∴OC⊥DC.
∵BE⊥DC,∴BE∥OC,∴∠EBC=∠OCB.
∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC,∴∠EBC=∠OBC,即BC是∠ABE的平分线.
(2)解:如图所示,过点C作CM⊥BD于点M,∵BC是∠ABE的平分线, BE⊥CE,∴CE=CM.
∵OC⊥DC,∴∠OCD=90°.
∵DC=8,OC=OA=6,∴OD=DC2+OC2=82+62=10.
∵S△DCO=12×CD×OC=12×OD×CM,
∴8×6=10×CM,解得CM=4.8,即CE=CM=4.8.
22.(12分)如图所示,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作DF⊥AC,垂足为点F.
(1)求证:直线DF是☉O的切线;
(2)求证:BC2=4CF·AC;
(3)若☉O的半径为4,∠CDF=15°,求阴影部分的面积.
(1)证明:如图所示,连接OD,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.
而OB=OD,∴∠ODB=∠ABC=∠C.
∵DF⊥AC,∴∠CDF+∠C=90°.∴∠CDF+∠ODB=90°.
∴∠ODF=90°.∵OD为☉O的半径,∴直线DF是☉O的切线.
(2)证明:如图所示,连接AD,则AD⊥BC.
∵AB=AC,∴DB=DC=12BC.
∵∠CDF+∠C=90°,∠C+∠DAC=90°,∴∠CDF=∠DAC.
而∠DFC=∠ADC=90°,∴△CFD∽△CDA.
∴CD2=CF·AC.即BC2=4CF·AC.
(3)解:如图所示,连接OE,
∵∠CDF=15°,∴∠C=75°.∴∠DAC=15°.
∴∠OAE=30°=∠OEA.∴∠AOE=120°.
∴S△OAE=12AE·OE·sin∠OEA=12×2×OE·cos∠OEA·OE·sin∠OEA= 43,
∴S阴影部分=S扇形OAE-S△OAE=120π×42360-43=16π3-43.
23.(12分)如图所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC的垂直平分线与AC,BC及AB的延长线分别相交于点D,E,F,☉O是△BEF的外接圆, ∠EBF的平分线交EF于点G,交☉O于点H,连接BD,若BC=BF.
(1)求证:△ABC≌△EBF.
(2)试判断DB与☉O的位置关系,并说明理由.
(3)若AB=1,求线段BF和HG的长度.
(1)证明:∵∠ABC=90°,∴∠EBF=90°.
∵DF⊥AC,∴∠ADF=90°,∴∠C+∠A=∠A+∠AFD=90°,∴∠C=∠BFE.
在△ABC和△EBF中,∵∠C=∠AFE,BC=BF,∠ABC=∠EBF,∴△ABC≌ △EBF.
(2)解:BD与☉O相切.理由如下:如图所示,连接OB.
∵OB=OF,∴∠OBF=∠OFB.
∵∠ABC=90°,AD=CD,∴BD=CD,∴∠C=∠DBC.
∵∠C=∠BFE,∴∠DBC=∠OBF.
∵∠CBO+∠OBF=90°,∴∠DBC+∠CBO=90°,即∠DBO=90°.
∵OB为☉O的半径,∴BD与☉O相切.
(3)解:如图所示,连接AE,FH,EH.由(1)知,△ABC≌△EBF,
∴AB=BE,BF=BC.
∵DF垂直平分AC,∴AE=CE=2AB=2,∴BF=BC=BE+EC=AB+CE=1+2.
∵BH平分∠EBF,∴∠FBG=12∠EBF=12×90°=45°,
∴∠EGB=∠BFG+∠FBG=∠BFG+45°=∠C+45°=∠CAE+45°=∠CAE+ ∠EAB=∠CAB=∠BEG,
∴∠EGB=∠BEG,∴BG=BE=1.∵BH平分∠FBE,∴HF=HE.
∵∠FHE=180°-∠FBE=90°,∴∠HFE=45°,
∴∠HFB=45°+∠EFB=∠EGB=∠GEB=∠FHB,
∴∠HFB=∠FHB,即HB=BF=1+2,∴HG=HB-GB=1+2-1=2.
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