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一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列代数式:-1x,0,ab3,2x-y,5+nm,x2-y2x+y.其中分式有( C )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2.下列各式变形正确的是( C )
A.=aba+mb+mB.=B.ab=acbc
C.akbk=ab D.ab=a2b2
3.(2021恩施)分式方程xx-1+1=3x-1的解是( D )
A.x=1 B.x=-2
C.x=34 D.x=2
4.若分式x-3x2的值为负数,则x的取值范围是( A )
A.x<3且x≠0 B.x>3
C.x<3 D.x>-3且x≠0
5.计算a2a-1-a-1的正确结果是( B )
A.-1a-1 B.1a-1
C.-2a-1a-1 D.2a-1a-1
6.已知x=2是分式方程kx+x-3x-1=1的解,那么实数k的值为( B )
A.3 B.4 C.5 D.6
7.(2021怀化)若定义a⊗b=2a+1b,则方程3⊗x=4⊗2的解为( B )
A.x=15 B.x=25
C.x=35 D.x=45
8.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天,设现在平均每天生产x台机器,则下列方程正确的是( B )
A.400x-450x-50=1 B.450x-50-400x=1
C.400x-450x+1=50 D.450x+1-400x=50
9.(2021兴安盟)若关于x的分式方程2x-3+x+a3-x=2有增根,则a的值为( A )
A.-1 B.0 C.3 D.0或3
10.(2021大庆)已知b>a>0,则分式ab与a+1b+1的大小关系是( A )
A.ab<a+1b+1 B.ab=a+1b+1
C.ab>a+1b+1 D.不能确定
11.若关于x的方程m-1x-1=2的解为正数,则m的取值范围是( D )
A.m>-1 B.m≠1
C.m>1 D.m>-1且m≠1
12.(2020重庆)若关于x的一元一次不等式组2x-1≤3(x-2),x-a2>1的解集为x≥5,且关于y的分式方程yy-2+a2-y=-1有非负整数解,则符合条件的所有整数a的和为( B )
A.-1 B.-2 C.-3 D.0
二、填空题(每小题3分,共18分)
13.分式12a2b与1ab2的最简公分母是 2a2b2 .
14.化简:2a2-8a+2-a= a-4 .
15.已知x2-4x+4与|y-1|互为相反数,则式子(xy-yx)÷(x+y)的值为
12 .
16.若1m+1n=2,则分式5m+5n-2mn-m-n的值为 -4 .
17.(2021鞍山)习近平总书记指出,中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”.为了大力弘扬中华优秀传统文化,某校决定开展名著阅读活动.用3 600元购买“四大名著”若干套后,发现这批图书满足不了学生的阅读需求,图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书,于是用2 400元购买的套数只比第一批少4套.设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元,则符合题意的方程是 3 600x-2 4000.8x=4 .
18.已知f(x)=1x(x+1),例如f(1)=11×(1+1)=11×2,f(2)=12×(2+1)=12×3,那么f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 020)= 2 0202 021 .
三、解答题(共46分)
19.(8分)(1)计算:(2x-1x-1-x-1)÷x-2x2-2x+1;
(2)先化简x2-4x+4x2-1÷x2-2xx+1+1x-1,再从-2,-1,0,1,2中选一个合适的数作为x的值代入求值.
解:(1)(2x-1x-1-x-1)÷x-2x2-2x+1
=(2x-1x-1-x2-1x-1)÷x-2(x-1)2
=-x2+2xx-1÷x-2(x-1)2
=-x(x-2)x-1·(x-1)2x-2
=-x(x-1)
=-x2+x.
(2)x2-4x+4x2-1÷x2-2xx+1+1x-1=(x-2)2(x+1)(x-1)·x+1x(x-2)+1x-1=x-2x(x-1)+1x-1=x-2+xx(x-1)=2(x-1)x(x-1)
=2x.
∵x取值为0,1,-1,2时,原分式无意义,∴x=-2.
当x=-2时,原式 =2x=2-2=-1.
20.(8分)解方程:
(1)xx-2-1x2-4=1; (2)5x-42x-4-2x+53x-6=-1.
解:(1)方程两边同乘(x+2)(x-2),得x(x+2)-1=(x+2)(x-2).
解得x=-32.
检验:当x=-32时,(x+2)(x-2)≠0,
∴x=-32是原分式方程的解.
(2)整理,得5x-42(x-2)-2x+53(x-2)=-1.
方程两边同乘6(x-2),得3(5x-4)-2(2x+5)=-6(x-2),
解得x=2.
检验:当x=2时,6(x-2)=0,
∴x=2是原方程的增根,应舍去,
∴原方程无解.
21.(8分)(2020锦州)某帐篷厂计划生产10 000顶帐篷,由于接到新的生产订单,需提前10天完成这批任务,结果实际每天生产帐篷的数量比计划每天生产帐篷的数量增加了25%,那么计划每天生产多少顶帐篷?
解:设计划每天生产x顶帐篷,则实际每天生产(1+25%)x顶帐篷,
由题意,得10 000x-10=10 000(1+25%)x,解得x=200.
经检验,x=200是所列方程的解,且符合题意.
故计划每天生产200顶帐篷.
22.(10分)某城际铁路的开通,使从A地到B地的高铁里程比普快里程缩短了81 km,运行时间减少了9 h.已知A地到B地的普快列车里程约1 026 km,高铁列车平均时速为普快列车平均时速的2.5倍.
(1)求高铁列车的平均时速.
(2)某日王老师要去距离A地大约630 km的某市参加14:00召开的会议,如果他买到当日8:40从A地至该市的高铁票,而且从该市火车站到会议地点最多需要1.5 h,试问:在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前赶到吗?
解:(1)设普快列车的平均时速为x km/h,则高铁列车的平均时速为2.5x km/h.
根据题意,得1 026x-1 026-812.5x=9,解得x=72.
经检验,x=72是原方程的解,且符合题意.
∴2.5x=180.
∴高铁列车的平均时速为180 km/h.
(2)能.630÷180=3.5(h),3.5+1.5=5(h),8:40+5=13:40,
∴他能在开会之前赶到.
23.(12分)甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫,共渡难关”捐款活动,甲公司共捐款100 000元,乙公司共捐款140 000元.下面是甲、乙两公司员工的一段对话:
(1)甲、乙两公司各有多少人?
(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A,B两种防疫物资,A种防疫物资每箱15 000元,B种防疫物资每箱12 000元.若购买B种防疫物资不少于10箱,并恰好将捐款用完,有几种购买方案?请设计出来.(注:A,B两种防疫物资均需购买,并按整箱配送)
解:(1)设乙公司有x人,则甲公司有(x-30)人,
由题意,得100 000x-30×76=140 000x,
解得x=180.
经检验,x=180是原方程的解,且符合题意.
∴x-30=150,
∴甲公司有150人,乙公司有180人.
(2)设购买A种防疫物资m箱,购买B种防疫物资n箱,
由题意,得
15 000m+12 000n=100 000+140 000,
整理,得m=16-45n.
又∵n≥10,且m,n为正整数,
∴m=8,n=10,或m=4,n=15,
综上所述,有2种购买方案:购买8箱A种防疫物资、10箱B种防疫物资,或购买4箱A种防疫物资、15箱B种防疫物资.
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